Het construeren van fretposities zonder calculator

[aaronstonebeat]

Ruim een etmaal heeft de gedachte me niet losgelaten. Waarom weet ik niet (toys in the attic, really gone fishing?) maar ik was ervan overtuigd dat het mogelijk moet zijn de fretposities voor een snaarinstrument te bepalen zonder gebruik te maken van formules en rekenmachines. Misschien omdat ik me onder andere afvraag hoe mensen dat vroeger hebben gedaan.

Nu herinner ik me uit een grijs verleden nog een tekentruc om het perspectivische verloop te construeren van bijvoorbeeld lantaarnpalen die op regelmatige afstanden staan langs een weg. Dat gaat als volgt:



Teken de eerste en de tweede paal, trek een lijn langs de boven- en onderkant en een lijn door het midden; vervolgens trek je een lijn van de onderkant van de eerste paal via het snijpunt van de middellijn met de tweede paal naar de bovenste lijn. Voila: het snijpunt van die twee lijnen geeft de positie van de derde paal. Zo kun je in principe tot in het oneindige doorgaan, steeds verklein je de afstand tussen de laatste en de volgende paal met dezelfde factor.

Hetzelfde gebeurt met de fretafstanden op een toets, maar de factor moet exact zo zijn dat de eerste positie twee maal zo lang is als de dertiende; dat de afstand van de topkam tot de 12de fret twee maal die is van de afstand van de 12de fret tot de 24ste etc. De factor waar het om gaat is de 12de machts-wortel uit 2; maar daar wilde ik nu dus niet rechtstreeks gebruik van maken. Ik wilde de perspectief-truc gebruiken om in principe alleen met passer en liniaal tot de juiste verhoudingen te komen.

Hierop ben ik uitgekomen:



Om te beginnen neem ik een orthogonaal assenstelsel (dat is eenvoudig te construeren) en trek vanuit de oorsprong lijnen door de punten (12,0), (12,1), (12,2), ... in ieder geval t/m (12,24); de vergelijkingen van de lijnen staan voor een deel in de tekening. Vervolgens trek ik door de punten (12,0) en (6,12) de lijn y=-2x+24.
De snijpunten van de laatste lijn met de eerste reeks geeft de verhoudingen tussen de fretposities 0 t/m 24. A is dan de topkam, B de 12de fret, C de 24ste; A' is de 1ste fret, B' de 13de.

Om het in de praktijk te gebruiken zou de afstand AB gelijk moeten zijn aan de helft van de mensuur.

Als ik eens zin heb, ga ik proberen of het werkelijk met een bestaande toets overeenkomt; je weet nooit maar het zou me verbazen als het niet klopt.

Heeft iemand enig idee of voor de tijd van de rekenmachines dit soort trucs werden gebruikt?

EDIT:

En reeds is twijfel mijn deel. AA' blijkt niet precies 2BB' (maar iets meer); en als ik de truc doortrek voor 36 frets, komt de 36ste iets te ver. Ik weet al wat me uit mijn slaap gaat houden

[Iemdie]

Het klinkt allemaal erg interessant en ergens ook wel logisch, maar waarom gebruik je de formule y= -2x+24?

[iWishmaster]

Ik denk vroeger vooral op gehoor. Als je eenmaal een mal hebt met de juiste afstanden is er geen kunst meer aan ...

[aaronstonebeat]

Het klinkt allemaal erg interessant en ergens ook wel logisch, maar waarom gebruik je de formule y= -2x+24?

Gegeven de rest kwam het daarmee zo uit dat AB twee maal zo lang is als BC.

Maar zie mijn 'edit' onderaan; ik ben er nog niet uit.

[Dootch]

Hoi,

Op deze link staat hoe ze het vroeger deden:
http://liutaiomottola.com/formulae/fret.htm

Ze gebruikten factor 18.
Nu is het dus 17.835

Mijn grafische oplossing:
Teken een rechthoekige driehoek met schuine zijde = C = mensuur
Met korte rechthoekszijde B = het 17.835de deel van C
A = lange rechthoekszijde, maar daarvan is de lengte onbelangrijk want die ligt al vast door de lengte van C en B

Het snijpunt van C en B noem ik "x"
Zet een passer in punt x en maak de straal zo groot als de zijde B.
Teken de cirkel tot hij lijn C snijdt. Daar komt uw eerste fret. Dit snijpunt heet nu x2.
Trek een lijn van x2 loodrecht op A. Je hebt nu een kleinere rechthoekige driehoek.
zet de passer in x2 en maak de straal zo groot als de nieuwe zijde B
Teken een cirkel tot deze lijn C opnieuw snijdt...dit is punt x3

and so on and so on ....

Moeilijk uit te leggen zonder tekening maar ben nu niet thuis

[Ike57]

Heeft iemand enig idee of voor de tijd van de rekenmachines dit soort trucs werden gebruikt?

Long time no seen Aaron

Op het gebied van wiskundige berekeningen kan ik je niet behulpzaam zijn. Dat is allemaal abacadabra voor mij.

In het boek "Violins and other stringed intruments - How to make them" uit 1907 wordt ook de factor 18 gebruikt (genoemd door Dootch)

In fretting the fingerboard much care must be taken. First find the place for fret No. 1 by dividing the distance from the bridge to the nut by eighteen, and making a mark on the fingerboard at this distance from the nut. For fret No. 2 measure as before, but from fret No. 1 to the bridge, instead of from the nut to the bridge; divide by eighteen to get the distance of fret No. 2 from fret No. 1; and so on.

[Jeroen_K]

Het schijnt dat de muzieknoten die wij als zuiver bestempeld hebben eigenlijk niet echt zuiver zijn heb ik ooit gelezen ergens. In het artikel stond dat de schaalverdeling ergens uit het midden-oosten kwam en dat tijdens de overname naar de westerse wereld een rekenfout is gemaakt, waardoor wij nu zo gewend zijn aan deze tonen dat we ze als zuiver horen.

Dit verklaarde voor mij wel waarom we de oosterse muziek vaak vals vinden klinken.

Ik weet niet meer waar ik het artikel gelezen heb, maar het was in een natuurkundige publicatie.

Misschien kan je hier iets mee?
Ik ben wel benieuwd en ga er ook eens over nadenken.

[aaronstonebeat]

@ Dootch:
Dank, dat is helemaal duidelijk! Ik zal eens proberen uit te rekenen welke lengtes er zo ontstaan. Lijkt me veelbelovend.

@ Demension X:
Volgens mij heet wat we nu gebruiken de 'gelijkzwevende stemming', alle afstanden van een halve toon hebben onderling dezelfde trillingsverhouding. Eerder werd een aantal manieren op basis van natuurlijke boventonen gebruikt om de laddertonen te bepalen en dan kom je op andere verhoudingen uit; in dat verband kom je de term 'reine stemming' wel tegen. Maar een octaaf blijft in beide gevallen een octaaf; dubbele frequentie is exact een octaaf hoger.

In veel oosterse muzieksoorten wordt gebruik gemaakt van microtonaliteit, afstanden die kleiner zijn dan een halve toon; ik denk dat eerder dat ervoor zorgt dat wij het als vals ervaren.

[Jeroen_K]

Dat klinkt een stuk logischer, bedankt!

[Zjef]

@ Dootch:
Dank, dat is helemaal duidelijk! Ik zal eens proberen uit te rekenen welke lengtes er zo ontstaan. Lijkt me veelbelovend.

@ Demension X:
Volgens mij heet wat we nu gebruiken de 'gelijkzwevende stemming', alle afstanden van een halve toon hebben onderling dezelfde trillingsverhouding. Eerder werd een aantal manieren op basis van natuurlijke boventonen gebruikt om de laddertonen te bepalen en dan kom je op andere verhoudingen uit; in dat verband kom je de term 'reine stemming' wel tegen. Maar een octaaf blijft in beide gevallen een octaaf; dubbele frequentie is exact een octaaf hoger.

In veel oosterse muzieksoorten wordt gebruik gemaakt van microtonaliteit, afstanden die kleiner zijn dan een halve toon; ik denk dat eerder dat ervoor zorgt dat wij het als vals ervaren.

Maar die gelijkzwevende stemming wordt toch nog niet zooo lang gebruikt?
De piano (toch wel een soort 'referentie-instrument') met gelijkzwevende stemming bestaat nog maar sinds het begin van de 20e eeuw.

De eerste van wie bekend is dat hij zich met berekeningen betreffende de gelijkzwevende stemming bezighield en daarover in 1584 schreef, was Chu Tsai-Yu (朱載堉) ten tijde van de Mingdynastie. Vincenzo Galilei (de vader van Galileo Galilei) bepleitte in 1581 al een dergelijke stemming. Ook Simon Stevin hield zich bezig met berekeningen aan intervallen van onder meer de gelijkzwevende stemming, maar het duurde tot het begin van de 20e eeuw voor piano's gebouwd werden met deze stemming.

Ik heb geen idee hoe gitaren vroeger geïntoneerd werden. Ik vermoed op het gehoor. De barokgitaar (grofweg 17e eeuw) heeft 'frets' die van darmsnaar gemaakt werden die rond de nek gebonden werden. Zoiets is relatief gemakkelijk op het gehoor regelbaar (ik heb het één keer gedaan en het is een hels karwei, maar dat ligt eerder aan de techniek). Andere oude instrumenten, zoals de meeste strijkers, hebben zelfs géén fretten.